Title: PSI* / Maths / Résumé du chapitre 16 : Endomorphismes particuliers d’un espace euclidien

x_F est appelé projeté orthogonal de x sur F

p_F la projection orthogonale sur F ( e_1,e_2,...,e_p) une base orthonormale de F:

Distance à un sous-espace vectoriel

Un endomorphisme \(f \in \mathcal L(E) \) est une isométrie (vectorielle) de E s’il:

Q: 3 exemples d'isométries:
A: *idE
*homotécie de raport -1 ou 1
*symétries orthogonales

Caractérisation des isométries

Q: \(\text{quel type d'endomorphisme sont les isométires ?}\)
A: \[\begin{array}{c} \textbf{ce sont des automorphisme:}\\ \text{on utilise la caractérisation d'une isométire et le fait qu'on est en dimension fini :}\\ x\in ker(f),\forall y \in E,(x|y)=(f(x)|f(y))=(0|f(y))=0\\ x\in E^\perp=\{0\},ker(f)=\{0\},f\text{ est bijective} \end{array}\]

Soit f une isométrie de E. Si F est un sous-espace de E stable par f, alors

caractérisation ( d'une isométire ) par l’image d’une base orthonormée

Q: groupe orthogonal de E, noté
O(E)
A: L’ensemble des isométries de E est appelé groupe orthogonal de E, noté O(E)

Q: Une matrice \(M \in \mathcal M_n(\mathbb R)\) est dite orthogonal :
A: \(M^\perp M=I_n\)

Caractérisation des matrices orthogonales

\(M\in O(n)\) si et seulement si ses colones...

def: groupe spécial orthogonal

On dit que u est autoadjoint ou symétrique si

liens entre une application linéaire autoadjointe et sa matrice dans une base B orthonormale

Théorème spectral

Interprétation matricielle du théorème spectral

Q: \(\begin{array}{c}
\text{Pour tout }u\in S(E):\\
min(Sp(u))
\end{array}\)
A: \(\begin{array}{c}
\text{Pour tout }u\in S(E):\\
min(Sp(u))=inf_{x \in E \text{\\}\{0\} }\frac{(x|u(x))}{||x||^2}
\end{array}\)

Q: propriété du prosuit vectorielle :
A: il est bilinéaire et antisymétrique

Produit mixte dans le plan :

Produit mixte dans l’espace :

Caractérisation des isométries du plan