Title: PSI* / Chimie / Chapitre VII - Procédés industriels continus

Q: \(\textbf{en réacteur ouvert en régime stationnaire le bilan de masse dans le reacteur nous donne :}\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{en réacteur ouvert en régime stationnaire le bilan de masse dans le reacteur nous donne :}\\
m(t+dt)=m(t)+dt\ \cdot \ \left( \frac{dm}{dt} \right)^s - dt\ \cdot \ \left( \frac{dm}{dt} \right)^s\\m(t+dt)=m(t)\\
\boxed{\left( \frac{dm}{dt} \right)^e=\left( \frac{dm}{dt} \right)^s}\\
\text{dans l'hypothèse où la masse volumique ne varie pas au cours de la réaction ,}\\ \text{le débit volumique se conserve.}
\end{array}\)

Q: \(\textbf{RCPA désigne :}\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{RCPA désigne :}\\
\text{les réacteurs continu parfaitement agité, sa composition y est homogène en particulier :}\\
\left[ R_i \right]^s=\left[ R_i \right] \ et \ \left[ P_i \right]^s=\left[ P_i \right]
\end{array}\)

Q: \(\text{Le temps de passage } \tau \text{ dans les réacteur en chimie :}\)
A: \(\begin{array}{c}
\text{Le temps de passage } \tau \text{ dans les réacteur en chimie :}\\
\boxed{\tau=\frac{V}{D_v}}
\left\{
\begin{array}{c}
\tau: \text{temps de passage }(s)\\
V:\text{volume du réacteur }(m^3)\\
D_V:\text{débit volumique }(m^3.s^{-1})
\end{array}
\right.
\end{array}\)

Q: \(\textbf{Bilan de matière dans un RCPA (sur A) : } \nu_AA+\nu_BB=\nu_CC\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{Bilan de matière dans un RCPA : } \nu_AA+\nu_BB=\nu_CC\\
n_A(t+dt)=n_A(t)+d_{nA}^e-d_{nA}^s+d_{nA}^r \text{ avec } d_{nA}^r<0\\
\text{on est en régime stationnaire donc : }\\
d_{nA}^e-d_{nA}^s+d_{nA}^r=0\\
D_V\text{ le débit volumique}, v\text{ la vitesse de la réaction}, V \text{ le volume du réacteur}\\
[A]^e \cdot D_V \cdot dt \ - \ [A]^s \cdot D_V \cdot dt \ + \ V \cdot v \cdot \nu _A \cdot dt=0\\
[A]^e \cdot D_V \ - \ [A]^s \cdot D_V \ + \ V \cdot v \cdot \nu _A =0\\
\left( [A]^e \ - \ [A]^s \right) \cdot D_V \ + \ V \cdot v \cdot \nu _A =0\\
\boxed{\left[ A \right]^s=\left[ A \right]^e+\nu_Av\tau}
\end{array}\)

Q: \(\textbf{Comment faire un tableau d'avancement en réacteur ouverts :}\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{Comment faire un tableau d'avancement en réacteur ouverts :}\\
\left\{
\begin{array}{c}
\text{L'état initial} \rightarrow \text{entré}\\
\text{L'état final} \rightarrow \text{sortie}\\
\text{l'avancement} \rightarrow \text{un avancement par unité de temps } \dot\xi
\end{array}
\right.
\end{array}\)

Q: \(\textbf{débit molaire et taux de conversion:(dans les tableau d'avancement)}\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{débit molaire et taux de conversion:(dans les tableau d'avancement)}\\
\boxed{\dot\xi=\frac{d\xi}{dt}}
\left\{
\begin{array}{c}
d\xi : \text{avancement élémentaire }(mol)\\
dt : \text{dureé élémentaire }(s)
\end{array}
\right.\\
\boxed{\alpha=\frac{\dot\xi}{\dot\xi_{max}}}
\left\{
\begin{array}{c}
\dot\xi : \text{débit molaire }(mol.s^{-1})\\
\dot\xi_{max}:\text{débit molaire max}(mol.s^{-1})\\
\end{array}
\right.
\end{array}\)

Q: \(\textbf{Racteur piston (RP)}:\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{Racteur piston (RP)}:\\
\text{Un réacteur ouvert de longeur L et section S,où l'on découpe son fonctionement en tranche dx}
\end{array}\)

Q: \(\textbf{Bilan de matière dans un RP : } \nu_AA+\nu_BB=\nu_CC\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{Bilan de matière dans un RP : } \nu_AA+\nu_BB=\nu_CC\\
n_A(t+dt)=n_A(t)+d_{nA}^2(x)-d_{nA}^2(x+dx)+{d_{nA}^2}^r \text{ avec } d_{nA}^r<0\\
\text{on est en régime stationnaire donc : }\\
d_{nA}^2(x)-d_{nA}^2(x+dx)+{d_{nA}^2}^r=0\\
D_V\text{ le débit volumique}, v\text{ la vitesse de la réaction}, V \text{ le volume du réacteur}\\
[A]_x \cdot D_V \cdot dt \ - \ [A]_{x+dx} \cdot D_V \cdot dt \ + \ dV \cdot v \cdot \nu _A \cdot dt=0\\
[A]_x \cdot D_V \ - \ [A]_{x+dx} \cdot D_V \ + \ dV \cdot v \cdot \nu _A =0\\
-d[A]_x \cdot D_V \ - \ [A]_{x+dx} \cdot D_V \ + \ dV \cdot v \cdot \nu _A =0\\
\boxed{\frac{d[A]_x}{dx}=\frac{v\nu_AS}{D_V}}\\
\end{array}\)

Q: \(\textbf{Thermodynamique d'un RCPA}:\)
A: \(\begin{array}{c}
\textbf{Thermodynamique d'un RCPA}:\\
\text{dans les conditions d'utilisation du RCPA le premier principe s'écrit}:dH=\delta Q\\
\text{On note la puissance thermique}:\mathcal P_{th}=\frac{\delta Q}{dt}=\frac{dH}{dt}\\
\text{L'enthalpie étant une fonction d'êtat on décompose}:dH=dH_\varphi+dH_\chi\implies \mathcal P_{th}= \mathcal P_\varphi+\mathcal P_\chi\\
\left\{
\begin{array}{c}
\varphi:\text{Echauffement isobare du système de }T_e \text{ à } T_s \text{ (étape dite 'physique')}\\
\chi:\text{Transformation isotherme et isobare des réactifs à } T_s \text{ (étape dite 'chimique')}
\end{array}
\right.
\end{array}\)

Q: \(\begin{array}{c}
\textbf{Etablir les expressions de}:\mathcal P_\varphi \text{ et } \mathcal P_\chi \text{ à partir de } dH_\varphi\text{ et }dH_\chi\\
\text{et}\\
\textbf{Etablir à partir d'un bilan de matière sur le réactif R }: \mathcal P_{th} \text{ sachant que} \ (R_{(aq)}=P_{(aq)})\\
\end{array}\)
A: \(\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\textbf{Etablir les expressions de}:\mathcal P_\varphi \text{ et } \mathcal P_\chi \text{ à partir de } dH_\varphi\text{ et }dH_\chi\\
\begin{align}
dH_\varphi &=\int\limits_{Te}^{Ts}{dm}^e_{eau}\cdot c°_{p,eau}\cdot dT\\
&={dm}^e_{eau} \cdot c°_{p,eau} \cdot \left( T_s-T_e \right)\\
&=\rho_{eau} \cdot dV \cdot c°_{p,eau} \cdot \left( T_s-T_e \right)\\
&=\rho_{eau} \cdot D_V \cdot dt \cdot c°_{p,eau} \cdot \left( T_s-T_e \right)\\
\mathcal P\varphi &= \rho_{eau} \cdot D_V \cdot c°_{p,eau}\cdot \left( T_s-T_e \right)\\
dH_\chi&=\Delta_rH° \cdot d\xi\\
\mathcal P_\chi &=\Delta_rH° \cdot \frac{d\xi}{dt}\\
\mathcal P_\chi &=\Delta_rH°\cdot V \cdot v
\end{align}\\
\boxed{\mathcal P\varphi = \rho_{eau} \cdot D_V \cdot c°_{p,eau}\cdot \left( T_s-T_e \right) \text{ et } \mathcal P_\chi =\Delta_rH°\cdot V \cdot v }
\end{array}\\
\begin{array}{c}
\textbf{Etablir à partir d'un bilan de matière sur le réactif R }: \mathcal P_{th} \text{ sachant que} \ (R_{(aq)}=P_{(aq)})\\
[R]^eD_Vdt-[R]^sD_Vdt-vVdt=0 \text{ et }[R]^s=[R]^e(1-\alpha)\\
[R]^e\alpha D_V=vV \implies \mathcal P_\chi=\Delta rH°[R]^e\alpha D_V\\
\boxed{\mathcal P_{th}=D_v\left( \rho_{eau} c_{p,eau}° (T_s-T_e)+[R]^e \alpha \Delta rH° \right)}
\end{array}
\end{array}\)